第 4 章 · 统计
考点梳理
4.1 统计数据与统计指标
数据类型：定性数据（分类、顺序）与定量数据（数值型）；观测数据与实验数据。
统计指标分类
| 类型 | 含义 | 示例 |
|---|---|---|
| 总量指标 | 反映总体规模（时期指标/时点指标） | GDP、人口数 |
| 相对指标 | 两个有联系指标之比 | 结构相对数、比较相对数、强度相对数 |
| 平均指标 | 反映一般水平 | 算术平均数、中位数、众数 |
4.2 集中趋势与离散程度（计算高频）
集中趋势
| 指标 | 特点 |
|---|---|
| 算术平均数 | 最常用，受极端值影响大 |
| 中位数 | 位置平均，不受极端值影响 |
| 众数 | 出现次数最多的值，适用于分类数据 |
离散程度
| 指标 | 含义 |
|---|---|
| 极差 | 最大值 − 最小值（最粗略） |
| 方差与标准差 | 各数值与均值离差的平方和（标准差为方差平方根） |
| 离散系数（变异系数） | 标准差 ÷ 均值，用于比较不同水平数据的离散程度 |
4.3 抽样调查
- 概率抽样：简单随机抽样、分层抽样、整群抽样、系统抽样、多阶段抽样；
- 非概率抽样：判断抽样、方便抽样、配额抽样、滚雪球抽样；
- 抽样误差：由随机抽样引起，可计算与控制；非抽样误差（登记误差、调查误差）与抽样无关；
- 估计量评价标准：无偏性、有效性、一致性；
- 样本量与误差关系：样本量越大，抽样误差越小（误差与样本量的平方根成反比）。
4.4 相关与回归
- 相关分析：判断变量间关系的方向与强度；相关系数 r ∈ [−1, 1]，|r| 越接近 1 线性相关越强；
- 回归分析：确定一个变量如何随另一个变量变化，一元线性回归模型 y = a + bx（b 为回归系数，表示 x 每变动一个单位 y 的平均变动量）；
- 区别：相关分析不区分自变量与因变量，回归分析要区分；相关不等于因果。
4.5 时间序列
水平指标：发展水平、平均发展水平（序时平均数）。
速度指标
| 指标 | 公式 |
|---|---|
| 发展速度 | 报告期水平 ÷ 基期水平 |
| 增长速度 | 发展速度 − 1（= 增长量 ÷ 基期水平） |
| 定基 vs 环比 | 定基以固定基期计算；环比以前一期为基期 |
| 平均发展速度 | 各期环比发展速度的几何平均数 |
| 平均增长速度 | 平均发展速度 − 1 |
关键关系：定基发展速度 = 相应各期环比发展速度的连乘积。
4.6 统计指数
- 指数作用：综合反映复杂现象的变动方向与程度；
- 个体指数与综合指数；
- 拉氏指数（L）：以基期数量为权数；帕氏指数（P）：以报告期数量为权数；
- 居民消费价格指数（CPI）：反映居民消费价格水平变动，是通胀监测的核心指标；
- 指数体系：销售额指数 = 价格指数 × 销售量指数。
🧠 记忆工具箱
集中 vs 离散
“平均数怕极端值，中位数不怕；比较离散程度用离散系数。”
抽样估计三标准
“无偏性、有效性、一致性。”
速度指标关系
“定基 = 各期环比连乘；平均发展速度用几何平均。”
指数两兄弟
“拉氏用基期权数、帕氏用报告期权数。”
CPI 一句话
“CPI 是通胀监测的核心指标，权重与商品篮子按官方口径确定。”
🔍 深度精讲
深讲 1：离散系数为什么比标准差更常用
问题：两组数据的标准差相同（如都为 5），是否说明离散程度一样？
- 若 A 组均值 100、B 组均值 10，则标准差同为 5 时，B 组相对波动大得多；
- 因此比较不同水平或不同计量单位数据的离散程度，必须用 离散系数 = 标准差 ÷ 均值。
答题提示：题目若给两组数据的均值与标准差不同，一律用离散系数比较，并写出结论（哪组更稳定/风险更大）。
深讲 2：抽样误差的计算与影响因素
重复抽样下样本均值的抽样标准误：σ_x̄ = σ / √n
影响因素：
- 总体方差 σ² 越大 → 误差越大；
- 样本量 n 越大 → 误差越小（按 √n 递减，因此把误差减半需要样本量增加 4 倍）；
- 抽样方式：分层抽样的误差通常小于简单随机抽样；
- 抽样组织方式：重复抽样误差大于不重复抽样。
答题提示：遇到"如何把误差降低一半"，答案要点是"样本量增加到原来的 4 倍"（同时说明成本上升）。
深讲 3：指数体系与实际应用
示例：某企业销售额增长 20%，其中价格指数为 108%（上涨 8%），则销售量指数为：
销售量指数 = 销售额指数 ÷ 价格指数 = 120% ÷ 108% ≈ 111.1%（销售量增长约 11.1%）。
应用场景：
- CPI 与居民实际收入：名义工资增长 6%、CPI 上涨 3% → 实际工资增长约 3%（精确计算为 1.06/1.03 − 1 ≈ 2.9%）；
- GDP 平减指数：名义 GDP 与实际 GDP 之比，用于衡量总体价格水平变动。
⚠️ 易错提醒
- 中位数不受极端值影响，算术平均数受影响大；
- 离散系数用于跨组比较，标准差只能比较同水平同单位数据；
- 抽样误差源于随机性，非抽样误差与抽样无关，不能混为"抽样误差"；
- 样本量与误差是平方根关系（误差减半需样本量增 4 倍）；
- 定基发展速度 = 环比发展速度连乘，减 1 才是增长速度；
- 拉氏用基期权数、帕氏用报告期权数，最容易记反；
- 相关不等于因果，回归分析才能定量描述影响方向与大小。