第 4 章 · 数量关系：行程、工程、利润与方程思维
考点梳理
4.1 行程问题（“画图 + 公式”）
核心公式：路程 = 速度 × 时间
| 模型 | 公式/结论 | 高频考法 |
|---|---|---|
| 相遇 | 路程和 = (甲速 + 乙速) × 相遇时间 | 相向而行，求相遇时间 |
| 追及 | 路程差 = (快速 - 慢速) × 追及时间 | 同向出发，求追上时间 |
| 流水 | 顺水速 = 船速 + 水速；逆水速 = 船速 - 水速 | 船速 = (顺 + 逆) / 2 |
| 火车过桥 | 路程 = 桥长 + 车长 | “完全通过"要加车长 |
| 钟表 | 分针每分钟 6°，时针每分钟 0.5° | 追及问题（分针追时针） |
方法：先画图标已知量（线段图），再列公式——90% 的行程题靠图解决。
4.2 工程问题（“赋值法"一招通吃）
核心公式：工作总量 = 效率 × 时间
| 情形 | 赋值技巧 |
|---|---|
| 给时间（甲 6 天、乙 8 天） | 总量赋 6 和 8 的最小公倍数 24 → 甲效率 4，乙效率 3 |
| 给效率比（甲:乙 = 3:2） | 直接按比赋（甲 3、乙 2） |
| 给人数/台数 | 总量赋人数的公倍数 |
例题：一项工程甲 6 天完成，乙 8 天完成，合作需几天？ → 总量 = 24；甲效率 4、乙效率 3；合作效率 7；24 ÷ 7 ≈ 3.43 天。
记忆锚：“见时间赋公倍，见比例直接赋，总量一赋全解了”。
4.3 利润问题（“数字链”）
核心链：利润 = 售价 - 成本；利润率 = 利润 / 成本
| 概念 | 公式 | 高频陷阱 |
|---|---|---|
| 利润率 | 利润 ÷ 成本 | 不是 ÷ 售价！ |
| 毛利率 | 毛利 ÷ 售价 | 与利润率分母不同 |
| 打折 | 实际售价 = 标价 × 折扣 | “打八折” = × 0.8 |
| 提价后降价 | 先提 x% 再降 x% ≠ 原价 | 实际 = 原价 × (1+x%) × (1-x%) < 原价 |
例题：成本 100 元，标价 150 元，打八折卖出，利润率？ → 实际售价 = 150 × 0.8 = 120；利润 = 20；利润率 = 20 ÷ 100 = 20%。
记忆锚：“利润率分母是成本，不是售价”——这是数量关系最高频的坑。
4.4 排列组合与概率（“加法原理 vs 乘法原理”）
| 原理 | 适用 | 例子 |
|---|---|---|
| 加法原理（分类） | “或”——完成一件事有几类独立方法 | 3 条路线可选 → 3 种 |
| 乘法原理（分步） | “且”——完成一件事要几步 | 3 条路线 × 2 段 → 3×2 = 6 种 |
| 模型 | 公式 |
|---|---|
| 排列 A(n,m) | n(n-1)…(n-m+1)，有序 |
| 组合 C(n,m) | A(n,m) / m!，无序 |
| 概率 | 目标情况数 ÷ 总情况数 |
高频题型：
- 捆绑法：相邻元素捆在一起当 1 个；
- 插空法：不相邻元素插到空位里；
- 容斥：至少一个 = 1 - 一个都没有。
🧠 记忆工具箱
口诀速记
- 行程：“相遇用和追及差，流水顺逆求平均”；
- 工程：“时间公倍效率出，总量一赋全都有”；
- 利润：“利润率除以成本，提价再降回不到”；
- 排列：“有序排列无序组，相邻捆绑不相邻插空”。
场景锚点
- 数量关系想象”“菜市场”"：“行程 = 两辆车谁先到（画图）；工程 = 几个人一起搬砖（公倍数分砖）；利润 = 买菜卖菜赚多少（成本售价分清楚）；排列 = 排队照相（谁挨着谁）”——所有题都是生活场景，读题先翻译成生活。
⚠️ 易错提醒
- 利润率分母：是成本，不是售价（最高频坑）；
- 火车过桥：完全通过 = 桥长 + 车长（不是只算桥长）；
- 提价再降价：+10% 再 -10% 回不到原价（实际打 99 折）；
- 排列组合"有序无序”：抽签/排队 = 排列（有序）；选代表/组队 = 组合（无序）——先问"顺序重不重要"；
- 时间策略：数量关系平均每题 1.5 分钟，超过 2 分钟的题果断标记跳过——“会做的做对，不会做的不亏”。