第 18 章 · 网络图与关键路径计算实战
考点梳理
18.1 网络图计算五步法（“正推 → 逆推 → 浮动 → 关键 → 压缩”）
| 步 | 方向 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 1 正推 | 左→右 | ES = max(所有前置 EF)；EF = ES + 工期 | 起点 ES=0 |
| 2 逆推 | 右→左 | LF = min(所有后续 LS)；LS = LF − 工期 | 终点 LF=项目工期 |
| 3 总浮动 TF | — | TF = LS − ES = LF − EF | 不延误项目可推迟时间 |
| 4 关键路径 | — | TF = 0 的路径（最长路径） | 决定项目最短工期 |
| 5 自由浮动 FF | — | FF = min(后续 ES) − EF | 不影响后续活动可推迟时间 |
记忆锚：“正推 EF 累加，逆推 LS 倒减；关键路径 TF=0，自由浮动看后继”。
18.2 关键路径要点（“4 个高频结论”）
- 关键路径 = 最长路径（不是"最短"！经典陷阱）；
- 关键路径可能有多条（“两条都 TF=0，都关键”）；
- 关键路径上的活动 = 关键活动（“动它整个项目延期”）；
- 非关键路径的 TF 会变（“关键路径延长后，原非关键路径可能变关键”）。
18.3 进度压缩（“2 招”）
| 招 | 做法 | 代价 |
|---|---|---|
| 赶工（crashing） | 加资源（加班/加人）压缩关键活动 | 花钱；有压缩极限（“再加也不快”） |
| 快速跟进（fast tracking） | 把串行活动改并行 | 加风险（返工概率↑） |
铁律：“只压关键路径上的活动”——“压非关键活动（TF>0）对项目工期毫无帮助”（“经典陷阱”）。
📝 深度精讲（5 道带解析算例）
例 1（基础正推逆推）
活动：A(2)→B(3)→D(4)；A(2)→C(1)→D(4)。求各活动 ES/EF/LS/LF/TF 与关键路径。
解析：
- 正推：A(ES0,EF2)；B(ES2,EF5)；C(ES2,EF3)；D(ES=max(5,3)=5, EF9)。项目工期=9。
- 逆推：D(LF9,LS5)；B(LF5,LS2)；C(LF5,LS4)；A(LF=min(2,4)=2,LS0)。
- TF：A=0，B=0，D=0，C=LS4−ES2=2。
- 关键路径：A→B→D（工期 9）；C 有 2 天浮动。
例 2（多关键路径）
A(3)→C(2)；A(3)→B(2)→C(2)。求关键路径。
解析：
- 正推：A(0,3)；B(3,5)；C(ES=max(3,5)=5, EF7)。工期=7。
- 逆推：C(LF7,LS5)；B(LF5,LS3)；A(LF=min(5,3)=3,LS0)。
- TF：A=0，B=0，C=0 → 两条路径都关键：A→C 和 A→B→C。
- 结论：“压缩时必须两条关键路径同时压”（只压一条，另一条仍卡工期）。
例 3（进度压缩·赶工）
例 1 中项目要求工期从 9 天压到 7 天。各活动赶工成本：B(3天,2万/天)，D(4天,5万/天)，A(2天,1万/天)（都压 1 天）。怎么压最省？
解析：
- 关键路径 A→B→D（9 天），需压 2 天。
- 只能压关键活动（A/B/D）。单位赶工成本：A 1万、B 2万、D 5万。
- 先压最便宜的 A（1万，压 1 天）→ A 变 1 天，关键路径变 8 天；
- 再压 B（2万，压 1 天）→ B 变 2 天，关键路径 A(1)+B(2)+D(4)=7 天 ✓。
- 总赶工成本 = 1 + 2 = 3 万。
- 易错：直接压 D（5万/天）最贵，不选；“先便宜后贵，且每次压完要重看关键路径”。
例 4（陷阱：压非关键活动）
例 1 中，想把 C（TF=2）从 1 天压到 0 天，能让项目提前吗？
解析：不能。C 是非关键活动，TF=2，压掉 1 天它还有 1 天浮动，项目工期仍由关键路径 A→B→D 决定 = 9 天。“压非关键活动对总工期零贡献”（“除非压到它变成关键路径”）。
例 5（自由浮动 vs 总浮动）
活动 X：ES=3, EF=5, LS=5, LF=7。后继活动 ES=6。求 TF 和 FF。
解析：
- TF = LS − ES = 5 − 3 = 2（或 LF−EF=7−5=2）。
- FF = min(后继 ES) − EF = 6 − 5 = 1。
- 区别：TF=2 指"X 最多可推迟 2 天不延误项目"；FF=1 指"X 最多推迟 1 天不影响后继开始"。“TF ≥ FF 恒成立”。
🧠 记忆工具箱
口诀速记
- 五步：“正推累加 EF，逆推倒减 LS，TF 看 LS 减 ES，关键路径 TF 零”；
- 关键：“关键是最长不是最短，可能有多条，压要同时压”；
- 压缩：“只压关键活动，先便宜后贵，压完重看路径”；
- 浮动：“总浮动看自己 LS，自由浮动看后继 ES”。
场景锚点
- 关键路径想象"“串珠项链”"：你不是戴项链的人（不需要戴），你是"做项链的"——“每颗珠子 = 一个活动，珠子大小 = 工期；关键路径 = 那条最长的串（项链总长由它定）”——“想缩短项链？只能磨小最长串上的珠子（赶工），或把两串并排穿（快速跟进）；磨短串上的珠子？项链总长纹丝不动（非关键活动有’空隙’=浮动）”。
⚠️ 易错提醒
- “关键路径 = 最短路径” = 高频错：“关键路径是最长路径”（“它决定最短工期，但它本身是最长”）；
- 只压一条关键路径：“多条关键路径要同时压”（“漏一条 = 白压”）；
- 压非关键活动：“对总工期零贡献”（“除非它变成关键”）；
- TF 与 FF 混淆：“TF≥FF；FF 看后继 ES，TF 看自己 LS”；
- 逆推起点错：“终点 LF = 项目工期（正推算出的），不是 0”。